\xiaojie

一、本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法及复数的代数运算法则。

二、要注意实数、虚数、纯虚数、复数之问的区别与联系。
复数 $a + b\,i$ 当 $b = 0$ 时为实数，当 $b \neq 0$ 时为虚数，当 $b \neq 0$ 且 $a = 0$ 时为纯虚数。
实数集与虚数集的交集是空集，它们都是复数集的真子集，它们的并集就是复数集；
纯虚数集是虚数集的真子集，它可以与非零实数所组成的集合一一对应。
这些集合之间的关系可以用下图表示。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-xiaojie-1}
\end{figure}


复数的分类表如下：
\vspace{4em}% 被忽略的高度
$$
\text{复数}
\begin{cases}
    \text{实数} \smash[t]{\left\{
    \begin{aligned}
        &\begin{aligned}
            \text{有理数} \\
            \text{(分数)}
        \end{aligned}
        \smash{\left\{
            \begin{aligned}
                &\text{正有理数} \\
                &\text{零} \\
                &\text{负有理数}
            \end{aligned}
        \right\}}
        \begin{aligned}
            &\text{循环小数（包括} \\
            &\text{整数、有限小数）}
        \end{aligned}
        \\
        \, \\
        &\text{无理数}
        \smash[b]{\left\{
            \begin{aligned}
                \text{正无理数} \\
                \text{负无理数}
            \end{aligned}
        \right\}}
        \text{无限不循环小数}
    \end{aligned}
    \right\}} \text{小数} \\

    \, \\

    \text{虚数}
\end{cases}
$$


三、任一复数 $z = a + b\,i$ 和复平面内的一点 $Z(a, b)$ 对应，也可以和以原点为起点、
点 $Z(a, b)$ 为终点的向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应。这些对应都是一一对应，即
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch5-xiaojie-2}
\end{figure}

\hspace{-2em}在这些一一对应下， 复数的各种运算，都有特定的几何意义。

四、实数集 $R$ 中的加、乘运算律， 在复数集 $C$ 中仍然成立。同实数加、减、乘、除、乘方的结果仍是实数一样，
复数加、减、乘、除、乘方的结果仍是复数。除此以外，复数开 $n \; (n \in N)$ 次方的结果是 $n$ 个复数，这却
是实数集 $R$ 所没有的性质（在实数集 $R$ 中，负数不能开偶次方，或者说，负数没有偶次方根）。

五、复数 $z$ 的三角形式是 $z = r(\cos\theta + i\,\sin\theta)$。把复数表示成三角形式，可以给复数的乘、
除、乘方及开方运算带来很大方便。至于复数的加、减运算，还是用代数形式 $z = a + b\,i$ 来进行比较方便。



